Counting, permutations & probability: practice set 2

एक मेज़ का ऊपरी पृष्ठ (top of a table) आयताकार है और उसके आयाम 6′ × 10′ हैं। मेज़ के ऊपरी पृष्ठ के दो आयताकार भागों को नीले रंग से रंगा गया है; इन दोनों भागों के आयाम 2·5′ × 8′ हैं और उनमें से प्रत्येक की सटीक दो भुजाएँ, मेज़ के ऊपरी पृष्ठ के दो किनारों के उभयनिष्ठ हैं। यदि मेज़ को ज़मीन पर स्थिर रखा जाता है और मेज़ के ऊपरी पृष्ठ के शेष भाग को सफ़ेद रंग से रंगा जाता है, तो ऊपर से देखने पर कितने भिन्न प्रतिरूप (पैटर्न) संभव हैं?

प्रथम सात धनपूर्ण संख्याओं के समुच्चय में से तीन संख्याएँ x, y, z इस प्रकार चुनी जाती हैं कि x > 2y > 3z है। इस प्रकार के कितने भिन्न त्रिक (x, y, z) संभव हैं?

कोई बल्लेबाज केवल एक रन लेते हुए व चौके और छक्के मारते हुए कितने तरीकों से ठीक-ठीक 25 रन बना सकता है, जबकि रन बनाने का कोई भी अनुक्रम हो सकता है ?

संख्या 11223344 के अंकों को पुनर्व्यवस्थित कर भिन्न 8-अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, इस प्रकार कि विषम अंक विषम स्थानों पर हों और सम अंक सम स्थानों पर हों ?

किसी डिब्बे में 14 काली गेंदें, 20 नीली गेंदें, 26 हरी गेंदें, 28 पीली गेंदें, 38 लाल गेंदें और 54 सफ़ेद गेंदें हैं । निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :

1. 1.यदि डिब्बे में से यादृच्छिक रूप से कोई सी n गेंदें इस प्रकार निकाली जाएँ कि उनमें कम-से-कम एक रंग का एक पूरा समूह अवश्य हो, तो n की लघुतम संख्या 175 है ।
2. 2.यदि डिब्बे में से यादृच्छिक रूप से कोई सी m गेंदें इस प्रकार निकाली जाएँ कि उनमें हर रंग की कम-से-कम एक गेंद अवश्य हो, तो m की लघुतम संख्या 167 है ।

उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं ?

एक वृत्त के रूप में व्यवस्थित 12 वस्तुओं में से दक्षिणावर्त दिशा में 10 क्रमागत वस्तुओं के चयनों की संख्या क्या है ?

किसी ध्वज को लाल, हरे या पीले रंगों में से कुछ या सभी रंगों का उपयोग कर चार क्षैतिज पट्टियों द्वारा परिरूपित करना है । कितने ऐसे विभिन्न तरीकों से इसे किया जा सकता है, इस प्रकार की कोई भी दो आसन्न पट्टियाँ एक ही रंग की न हों ?

150 प्रतियोगियों वाली किसी शतरंज टूर्नामेंट में जब-जब कोई खिलाड़ी बाजी हारता है, उसे बाहर कर दिया जाता है। यह निश्चित किया गया है कि कोई भी बाजी बराबरी (टाई/ड्रॉ) पर निर्णीत नहीं होगी। इस पूरे टूर्नामेंट में कितनी बाजियाँ खेली गईं?

वर्ण A, B, C, D और E इस तरह व्यवस्थित किए गए हैं कि A और E के बीच यथातथ्य दो वर्ण हैं। इस तरह कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

एक संख्या-आधारित ताला है, जिसके लिए 3-अंक की वैयक्तिक अभिज्ञान संख्या (पिन) है। पिन में 1 से 7 तक अंक हैं। कोई अंक दोबारा नहीं आता। पिन के अंक बाएँ से दाहिने तरफ घटते हुए क्रम में हैं। पिन के किन्हीं दो अंकों के बीच कम-से-कम 2 का अंतर है। अधिकतम कितने प्रयासों में पिन का निश्चित पता लगाया जा सकता है?

किसी मेज पर 9 प्याले इस तरह सजाकर रखे हैं कि उनकी पंक्तियों और कॉलमों की संख्या समान है। इनमें से 6 प्यालों में कॉफी और 3 प्यालों में चाय है। इन्हें कितनी प्रकार से इस तरह रखा जा सकता है कि प्रत्येक पंक्ति में कम-से-कम एक कॉफी का प्याला हो?

एक बिसात (शतरंज बोर्ड) पर एक सीधे पथ की लंबाई में विकर्णों पर 6 क्रमागत वर्गों को कितने विभिन्न प्रकार से चयनित किया जा सकता है ?

एक पंक्ति में 6 व्यक्ति हैं । एक अन्य व्यक्ति को उनमें से 3 व्यक्तियों से इस प्रकार हाथ मिलाना है कि वह दो क्रमागत व्यक्तियों से हाथ नहीं मिलाएगा । ऐसे कितने भिन्न संभाव्य संयोजनों में हाथ मिलाए जा सकते हैं ?

शब्द ‘DELHI’ के सभी अक्षरों का प्रयोग करते हुए कितने विभिन्न 5-अक्षरी शब्द (जिनका कोई अर्थ हो या न हो) बनाए जा सकते हैं, जबकि प्रत्येक शब्द D के साथ शुरू होता है और I के साथ समाप्त होता है?

मान लीजिए, आपके पास तीन मूल्य-वर्गों, ₹ 1, ₹ 10 और ₹ 50, में रुपया मुद्रा पर्याप्त मात्रा में है । आप ₹ 107 के एक बिल का भुगतान कितने विभिन्न तरीकों से कर सकते हैं ?

समीकरण x + y + z = 6 को कितने त्रिक (x, y, z) संतुष्ट करते हैं, जहाँ x, y और z धनपूर्ण संख्याएँ हैं ?

यदि 700 से 1000 तक सभी संख्याएँ लिखी जाएँ, तो ऐसी कितनी संख्याएँ आती हैं जिनमें सैकड़े का अंक, दहाई के अंक से तथा दहाई का अंक, इकाई के अंक से बड़ा है?

एक खेल प्रतियोगिता के लिए लकड़ी के तीन खण्डकों को मिलाकर बने विजेता-मंच का आकार नीचे दिया गया है :

उपलब्ध छः विभिन्न रंगों में से रंग चुनने हैं और लकड़ी के तीनों खण्डकों में से प्रत्येक को इस प्रकार रंगा जाना है कि कोई भी दो खण्डकों का रंग एकसमान न हो। विजेता-मंच को कितने अलग-अलग तरीकों से रंगा जा सकता है?

एक थैले में 20 गेंदें हैं। 8 गेंदें हरी हैं, 7 सफ़ेद हैं और 5 लाल हैं। आँख बंद कर, थैले में से न्यूनतम कितनी गेंदें निकालना आवश्यक है (किसी को भी बिना बदले) जिससे सुनिश्चित हो कि प्रत्येक रंग की कम-से-कम एक गेंद निकली हो?

एक प्रश्न-पत्र में पांच प्रश्नों पर प्रयास किए जाने हैं और प्रत्येक प्रश्न के उत्तर के दो विकल्प हैं – सही (T) अथवा गलत (F)। यह दिया गया है कि किन्हीं भी दो परीक्षार्थियों ने पाँचों प्रश्नों के उत्तर एकसमान अनुक्रम में नहीं दिए हैं। ऐसा होने के लिए परीक्षार्थियों की अधिकतम संख्या कितनी है ?

अंक 1, 2, 3 और 4 को लेकर चार-अंकीय संख्याएं बनानी हैं। इन चार अंकों में से किसी एक की भी किसी भी रीति से पुनरावृत्ति नहीं करनी है, तथा

1. 1.2 और 3 एक दूसरे के एकदम आगे पीछे नहीं हो सकते
2. 2.3, 1 के एकदम पीछे नहीं हो सकता
3. 3.4 अंतिम स्थान पर नहीं आ सकता
4. 4.1 प्रथम स्थान पर नहीं आ सकता

कितनी पृथक संख्याएं बन सकती हैं ?